问题及解答

设 $A=(a_{ij})_n\in\mathbb{C}^{n\times n}$, 若

\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是(行)对角占优矩阵. 若不等式是严格的, 则称严格(行)对角占优矩阵或强对角矩阵. 若
\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ji}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是列对角占优矩阵.

若某一行(列)满足上面的不等式, 则称该行(列)为对角占优行(列).

Lem. 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $A$ 必定可逆.

Cor. 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $|A|>0$ .

田素霞专门写了一本关于对角占优矩阵的书, 书名即为《对角占优矩阵》, 可以作为参考.

(反证法) 假设 $A$ 不可逆, 即 $|A|=0$. 则齐次线性方程组 $A\vec{x}=\vec{0}$ 有非零解. 假设为
$\vec{x}_0=(x_0^1,x_0^2,\ldots,x_0^n)^T$. 不妨设 $|x_0^i|=\max\{|x_0^1|,\ldots,|x_0^n|\}>0$. 由于
\[
a_{i1}x_0^1+a_{i2}x_0^2+\cdots +a_{in}x_0^n=0,
\]
故推出
\[
|a_{ii}|\cdot |x_0^i|=\biggl|-\sum_{j\neq i,j=1}^{n}a_{ij}x_0^j\biggr|\leqslant\sum_{j\neq i,j=1}^{n}|a_{ij}||x_0^j|\leqslant(\sum_{j\neq i,j=1}^{n}|a_{ij}|)\cdot|x_0^i|<|a_{ii}||x_0^i|,
\]
矛盾. 因此 $A$ 是可逆矩阵.