问题及解答

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a > 0$, $b > 0$) 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$. $P$ 是双曲线上一点, 且满足 $PF_1\perp PF_2$, $|PF_1|\cdot|PF_2|=4ab$, 求此双曲线的离心率.

本题就是求 $e=\frac{c}{a}$, 其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

设 $P=(x,y)$, 则

\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{PF_1}=(-c,0)-(x,y)=(-c-x,-y),\\
\overrightarrow{PF_2}=(c,0)-(x,y)=(c-x,-y).\\
\end{aligned}
\]

由 $\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}$ 推得 $(-c-x)(c-x)+(-y)^2=0$. 即 $x^2+y^2=c^2$.

由 $|\overrightarrow{PF_1}|\cdot|\overrightarrow{PF_2}|=4ab$ 推出

\[
\bigl[(c+x)^2+y^2\bigr]\cdot\bigl[(x-c)^2+y^2\bigr]=16a^2b^2,
\]

即

\[
(x^2+y^2+2cx+c^2)(x^2+y^2-2cx+c^2)=16a^2b^2,
\]

将 $x^2+y^2=c^2$ 代入, 整理得

\[
x^2=\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2},
\]

从而

\[
y^2=c^2-x^2=c^2-\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}.
\]

将它们代入原双曲线方程, 得

\[
\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+b^2)a^2}-\frac{4a^2b^2}{b^2(a^2+b^2)}=1,
\]

化简得

\[
4a^4+3a^2b^2-b^4=0.
\]

令 $t=\frac{a^2}{b^2}$, 则化为 $4t^2+3t-1=0$. 解得 $t=\frac{1}{4}$.

于是, 离心率为

\[
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
\]