问题及解答

判断极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\tan x}$ 是否存在

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\tan x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}|\sin\frac{x}{2}|}{x},
\]

但是

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{2}|\sin\frac{x}{2}|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{2}\cdot\frac{x}{2}}{x}=\frac{\sqrt{2}}{2},
\]

\[
\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sqrt{2}|\sin\frac{x}{2}|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-\sqrt{2}\cdot\frac{x}{2}}{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

所以左右极限不相等, 故极限不存在.