问题及解答

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\biggr)^{2n-1}
\]

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{64}=1$, 故所求极限的值是下面的极限值的平方.

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\biggr)^{n}
\]

我们将它改写一下

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\biggr)^{n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{n\ln\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}}.
\]

观察到

\[
2+\sqrt[n]{64}=2+2^{\frac{6}{n}}=3+o(1),
\]

确切的, 根据泰勒展式子 $2^x=1+\frac{\ln 2}{1!}x+o(x)$, 得

\[
2+\sqrt[n]{64}=3+\ln 2\cdot\frac{6}{n}+o(x)
\]

从而

\[
\ln\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}=\ln(1+\frac{2\ln 2}{n}+o(\frac{1}{n})),
\]

所以

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}n\ln\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}=\lim_{n\rightarrow+\infty} n\ln(1+\frac{2\ln 2}{n})=\ln\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{2\ln 2}{n})^{\frac{n}{2\ln 2}\cdot(2\ln 2)}=\ln e^{2\ln 2}=\ln 4.
\]

因此,

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\biggr)^{n}=4,
\]

原极限值为 16.