问题及解答

设 $a_n>0$, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛, 并且 $na_n$ 单调. 证明:

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}na_n\ln n=0.\]

首先证明: $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}na_n=0$.

事实上, 存在某个数 $A>0$ 及 $N>0$, 当 $n>N$ 时, 有

\[a_n<\frac{1}{n}\cdot A.\]

否则, 存在子列 $\{a_{n_k}\}$, 使得 $a_{n_k}\geqslant\frac{A}{n_k}$, 这导致 $\sum_{k=1}^{\infty}a_{n_k}=+\infty$, 与 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛矛盾.

于是 $\{\frac{a_n}{1/n}\}$ 有界. 又由题设 $na_n$ 单调, 因此 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}na_n$ 存在. 易见这个极限为零.

下面考虑

\[\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}\]

同理可证 $\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$ 有界. 如果极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$ 不存在, 则存在子列 $a_{n_k}n_k\ln n_k$ 收敛于某个大于零的数 $a>0$, 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n_k}n_k\ln n_k=a>0.
\]

但是这将推出 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n_k}=+\infty$, 矛盾. 因此 $a_n n\ln n$ 的任何子列都收敛于零. 即证明了

\[
\lim_{n\rightarrow\infty} na_n\ln n=0.
\]