正 $n$ 边形中由其顶点构成的三角形的问题.
正 $n$ 边形中由其顶点可构成多少个三角形?
如果要求所构成的三角形中, 没有哪条边属于此正 $n$ 边形的边, 问这样的三角形有多少个?
Answer
问题及解答
1
第一题, 显然有 $C_n^3$ 个.
第二题, 在总的 $C_n^3$ 个数中减去如下两种类型的三角形个数：
1) 这个三角形仅有一条边是多边形的边. 这样的三角形个数有 $n(n-4)$ 个.
2) 这个三角形有两条边是多边形的边. 这样的三角形个数有 $n$ 个.
因此所求的个数是 : $C_n^3-n(n-4)-n=C_n^3-n(n-3)$.
1) 这个三角形仅有一条边是多边形的边. 这样的三角形个数有 $n(n-4)$ 个.
2) 这个三角形有两条边是多边形的边. 这样的三角形个数有 $n$ 个.
因此所求的个数是 : $C_n^3-n(n-4)-n=C_n^3-n(n-3)$.