求极限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\sqrt{\frac{k}{n}}.\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin\pi}{n+\frac{1}{n}}\biggr).
\]
1
此极限等价于求 $[0,1]$ 上函数 $\sin\sqrt{x}$ 的积分.
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\sqrt{\frac{k}{n}}&=\int_0^1\sin\sqrt{x}dx\\
&=\int_0^1\sin tdt^2\\
&=2\int_0^1 t\sin tdt\\
&=-2\int_0^1 td\cos t\\
&=-2\biggl[t\cos t\biggr|_{0}^{1}-\int_0^1\cos tdt\biggr]\\
&=-2\Bigl[\cos 1-\sin t\Big|_{0}^{1}\Bigr]\\
&=2(\sin 1-\cos 1).
\end{split}
\]
2
(2)
注意
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{k}{n}\pi}{n+1}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{k}{n}\pi}{n+\frac{1}{k}}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{k}{n}\pi}{n+\frac{1}{n}},
\]
我们计算极限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{k}{n}\pi=\int_0^{\pi}\sin xdx=(-\cos x)\biggr|_{0}^{\pi}=2.
\]
因此, 由夹逼原则, 可知原极限为 2.