问题及解答

标准抛物线是指首项系数为 1 的二次多项式 $y=x^2+ax+b$ 的图像.

三条分别以 $V_1,V_2,V_3$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $A_1,A_2,A_3$.

设 $A\mapsto s(A)$ 平面关于 $x$ 轴的对称映射.

证明: 以 $s(A_1),s(A_2),s(A_3)$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $s(V_1),s(V_2),s(V_3)$.

Hint: 首先证明以 $V$ 为顶点的标准抛物线经过点 $A$ 当且仅当以 $s(A)$ 为顶点的标准抛物线经过点 $s(V)$.

References:

王丽萍 编译,  历届 IMC (International Mathematics Competition for University Students) 国际大学生数学竞赛试题集 1994-2010.

此题为第 9 届 IMC 试题 (波兰, 2002)

设 $A=(a,b)$, $V=(v,w)$. 以 $V=(v,w)$ 为顶点的标准抛物线方程为 $y=(x-v)^2+w$, 因此它经过点 $A$ 当且仅当 $b=(a-v)^2+w$. 同理, 顶点为 $s(A)=(a,-b)$ 的标准抛物线方程为 $y=(x-a)^2-b$; 它经过点 $s(V)=(v,-w)$ 当且仅当 $-w=(v-a)^2-b$. 这两个条件是等价的.

现在假设以 $V_1$ 和 $V_2$, $V_1$ 和 $V_3$, $V_2$ 和 $V_3$ 为顶点的标准抛物线分别交于点 $A_3, A_2, A_1$, 则由上所述, 以 $s(A_1)$ 和 $s(A_2)$，$s(A_1)$ 和 $s(A_3)$，$s(A_2)$ 和 $s(A_3)$ 为顶点的标准抛物线分别相交于点 $V_3,V_2,V_1$, 因为它们分别经过这些点.