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求亏格为2的黎曼面的基本群

Posted by haifeng on 2014-03-22 17:18:50 last update 2014-03-22 17:18:50 | Edit | Answers (1)

求亏格为2的黎曼面的基本群

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Posted by haifeng on 2023-08-15 20:52:33

设 $M$ 是亏格为 $g$ 的紧致黎曼曲面.  利用紧致可定向曲面的规范形式(normal form)的公共顶点作为基点(base point), $\pi_1(M)$ 由 $2g$ 个闭回路 $a_1,\ldots,a_g$, $b_1,\ldots,b_g$ 生成, 这里这些闭回路满足条件 $a_1 b_1 a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1}b_g^{-1}=1$.

$H_1(M)$ 是由 $[a_j], [b_j]$, $j=1,2,\ldots,g$ 生成的 Abel 群.

特别的, 对于亏格为 $g$ 的紧致曲面 $M$,  $H_1(M)\cong\mathbb{Z}^{2g}$, 第一贝蒂数(betti number) $\beta_1=\dim H_1(M)=2g$.

 

回顾 $Z_1(M)$ 由 $M$ 中的 1 维闭链组成. 

 

 

参见 [1] GTM71, pp.19.

References


[1] Hershel M. Farkas, Irwin Kra, Riemann Surfaces.  2nd Edition.