问题及解答

$M$ 是紧致流形, 考虑 $M$ 上所有黎曼度量组成的空间(记为 $\mathcal{RM}(M)$), 以及 $M$ 上所有黎曼结构组成的空间 (记为 $\mathcal{RS}(M)$).

$\mathcal{RS}(M)$ 是 $\mathcal{RM}(M)$ 在 $M$ 的微分同胚群 $\text{Diff}(M)$ 作用下的商空间, 即

\[\mathcal{RS}(M)=\mathcal{RM}(M)/\text{Diff}(M).\]

只要 $\dim M\neq 0$, $\text{Diff}(M)$ 不是局部紧的, 它是一个很大的群.

微分同胚群具有两个自然的拓扑, 分别称为弱拓扑和强拓扑.

当流形是紧致的, 这两个拓扑是等价的. 弱拓扑总是可以度量化的.

当流形非紧时, 强拓扑捕获函数“在无穷远处”的行为, 且也不是可度量化的, 但仍是 Baire 的.

References:

Hirsch, 1997