有哪些已经被证明为超越数的数?
无理数分两大类: 代数数(Algebraic number)和超越数(Transcendental number)
所谓代数数, 是指为某一整系数代数方程的根. (或者为有理系数代数方程的根, 等价的.)
超越数, 即不为任何整系数代数方程的根. (超越数也可以是复数.)
Def. $\alpha$ 是代数数(algebraic), 如果存在 $p\in\mathbb{Z}[x]$, $p\neq 0$, 使得 $p(\alpha)=0$. 否则称 $\alpha$ 是超越数(transcendental).
几乎所有的实数和复数都是超越数, 因为代数数是可数的. 所有实的超越数都是无理数, 因为有理数都是代数数.
已经知道的超越数有:
$e$, $\pi$, $\ln 2$
$e^{\pi}$, $\pi+e^\pi$, $\pi e^\pi$, $e^{\pi\sqrt{n}}$.
Hilbert 数 （与 Hilbert 的第七问题有关）
$2^{\sqrt{2}}$,
Liouville\'s number
\[0.110001000000000000000001000\ldots\]
这个数在第 1, 2, 6, 24, ... 的位置上为 1, 其余为零. 位置分别是 $1!,2!,3!,4!,\ldots$
Chaitin\'s "constant", the probability that a random algorithm halts. (Noam Elkies of Harvard notes that not only is this number transcendental but it is also incomputable.)
Chapernowne\'s number,
\[0.12345678910111213141516171819202122232425\ldots\]
它是将自然数从小到大串起来组成一个小数.
Apéry\'s constant. $\zeta(3)$. (一般总可期望超越函数在某些有理点处能给出超越数值.)
Morse-Thue\'s number, 0.01101001 ...
\[i^i=e^{i\text{Log}i}=e^{i[\log|i|+i\text{Arg}i]}=e^{-\frac{\pi}{2}}=0.207879576\ldots\]
这里 $i=\sqrt{-1}$. (注意 $i^i$ 实际上是多值的, 这里 $\text{Arg}$ 取了主辐角 $\text{arg}$.)
下面这些常数尚未被证明是否是超越数, 但通常都认为它们应该是超越数.
Euler 常数,
\[\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln(n)\biggr)= 0.577215 ... \]
$\pi^e$
$\zeta(s)$ 在其他奇数处的值, 如 $\zeta(5),\zeta(7),\ldots$ 尚未证明是否是超越数.
Catalan\'s constant, $G$
\[G=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}=1-\frac{1}{9}+\frac{1}{25}-\frac{1}{49}+\cdots\]
Feigenbaum numbers, e.g. 4.669 ... . (These are related to properties of dynamical systems with period-doubling. The ratio of successive differences between period-doubling bifurcation parameters approaches the number 4.669 ... , and it has been discovered in many physical systems before they enter the chaotic regime. It has not been proven to be transcendental, but is generally believed to be.)
Keith Briggs from the Mathematics Department of the University of Melbourne in Australia computed what he believes to be the world-record for the number of digits for the Feigenbaum number:
4. 669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651 343004134330211314737138689744023948013817165984855189815134 408627142027932522312442988890890859944935463236713411532481 714219947455644365823793202009561058330575458617652222070385 410646749494284981453391726200568755665952339875603825637225
Briggs carried out the computation using special-purpose software designed by David Bailey of NASA Ames running on an IBM RISC System/6000. The computation required a few hours of computation time.
历史
1844 年, 数学天才约瑟夫.柳维尔(Joseph Liouville (1809-1882)) 首先证明了超越数的存在性. (更确切的说法是, 他证明了某个特定的数是超越数.) 柳维尔给出了一个数是代数数的必要条件, 从而也就给出了一个数成为超越数的充分条件. 于是证明了超越数的存在.
Charles Hermite 在 1873 年证明了 $e$ 的超越性.
Ferdinand von Lindemann 于 1882 年证明了 $\pi$ 的超越性.
亚历山大 奥西坡维奇 盖尔芳特(Alexander Osipovich Gelfond) 解决了希尔伯特第七问题.
希尔伯特的第七个问题是: 若 $\alpha\neq 1$ 是任一代数数, 而 $\beta$ 是任一代数无理数, 则 $\alpha^\beta$ 究竟是代数数还是超越数? 特殊情形, $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi$ 到底是不是超越数.
References:
http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Gelfond
A. K. 苏凯什维奇 著, 叶乃膺 译 《数论初等教程》
The 15 Most Famous Transcendental Numbers