问题及解答

Thm. 设 $K$ 是紧度量空间, 度量为 $d_K$. 令 $\mathcal{C}(K)$ 为 $K$ 上的所有实(或复)函数全体组成的集合. 设函数列 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{C}(K)$, 满足下面两个条件:

1. (逐点有界) $\forall\ p\in K$, $\exists\ \phi(p)>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant\phi(p)$, $\forall\ p\in K$.
2. (等度连续) $\forall\ \varepsilon>0$, $\exists\ \delta>0$, s.t. 当 $d_K(p,p')<\delta$ 时, 都有 $|f_n(p)-f_n(p')|<\varepsilon$, 这对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都成立.

则,

 (a) $\exists\ M>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant M$, 对任意 $p\in K$ 和 任意 $n\in\mathbb{N}$. 此时称 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一致有界.

(b) $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 包含一个一致收敛的子序列.

Remark:

若对所有 $x\in\Omega$ 及对所有 $f\in\mathcal{F}$ 有 $|f(x)|\leqslant M$, 其中 $M$ 是某个固定的正数. 则称函数族 $\mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 中一致有界.

References:

http://www.math.ubc.ca/~feldman/m321/arzela.pdf