设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, 则
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A.
\]
也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.
但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1)^n\}$.
应用.
例. 求极限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]
这显然等于 0. 与之相关的一个极限是
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]
参见问题1933
1
要证 $\forall\ \varepsilon >0$, 存在 $N$, 当 $n>N$ 时, 有
\[
\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-A\biggr|<\varepsilon.
\]
而注意到条件 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$ 可以利用的是 $|a_n-A|<k\varepsilon$, 这里 $k$ 只是待定的一个数, 而且必须是当 $n$ 充分大时才成立, 比如当 $n>N_0$ 时.
该如何利用呢, 观察
\[
\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-A\biggr|=\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n-nA}{n}\biggr|
\]
因此, 必须对这些 $a_i$ 进行分类, 一部分是指标位于 $N_0$ 之前的(包含 $N_0$), 另一部分是 $N_0$ 之后的. 于是
\[
\begin{split}
\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-A\biggr|&=\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}}{n}+\frac{a_{N_0+1}+\cdots+a_n}{n}-A\biggr|\\
&=\biggl|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A}{n}+\frac{(a_{N_0+1}-A)+\cdots+(a_n-A)}{n}\biggr|\\
&\leqslant\frac{|a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A|}{n}+\frac{|a_{N_0+1}-A|+\cdots+|a_n-A|}{n}\\
&\leqslant\frac{|a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A|}{n}+\frac{n-N_0}{n}k\varepsilon,
\end{split}
\]
注意到 $\frac{|a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A|}{n}$, 当 $n$ 足够大时是可以被控制在一个很小的范围内的, 因此不妨设当 $n>N$ 时, $\frac{|a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A|}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$, 而 $\frac{n-N_0}{n}k<\frac{1}{2}$, 即可. 也就是, 令
\[
N>\max\biggl\{N_0,\frac{2|a_1+a_2+\cdots+a_{N_0}-N_0A|}{\varepsilon}\biggr\}
\]
就可以保证 $\varepsilon-N$ 语句成立.
References:
梅加强, 《数学分析》, 高等教育出版社.