问题及解答

定义 [黎曼度量]
$C^\infty$ 流形 $M$ 上的黎曼度量 $g$ 是指 $M$ 上的一个 $C^\infty$ 二阶共变张量场, 且满足
\[
\begin{aligned}
&g(X,Y)=g(Y,X),\quad g(X,X)\geqslant 0,\quad \forall\ X,Y\in\mathcal{X}(M)\\
&g_p(X,X)=0\Leftrightarrow X_p=X(p)=0,\quad p\in M.
\end{aligned}
\]
换句话说, 黎曼度量(Riemannian metric)是 $M$ 上的一个光滑二阶对称正定的共变(协变)张量场. 也可以这样来理解, 对任意 $p\in M$, $g$ 在 $M$ 的切空间 $T_p M$ 上定义了一个内积 $g_p$ (或 $g|_p$, 有时记 $g_p(\cdot,\cdot)$ 或 $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$), 并且 $g$ 光滑依赖于 $p$. 也即对任意两个光滑向量场 $X, Y$, $g_p(X_p,Y_p)$ 光滑依赖于点 $p$. 也就是如果任取 $p$ 点附近的局部坐标系 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, 若令 $g_{ij}(p)=g_p(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j})$, 则这些 $g_{ij}(p)$ 是关于坐标 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 的 $C^\infty$ 函数.


定义 [黎曼流形] 赋予黎曼度量的 $C^\infty$ 流形称为黎曼流形(Riemannian manifold).


命题 $C^\infty$ 流形上总存在黎曼度量.

证明. 参见 \cite{CXS} 第五章定理 1.1.


约定: 这里考虑的 $C^\infty$ 流形都是连通的.

注: 同维数的内积空间总是等距同构的, 因此 $n$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 的所有切空间 $T_p M$ 都等距同构于赋予了典范内积的欧氏空间 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,\text{can})$. 因此, 不仅从流形的角度, 也从黎曼流形的角度, 所有黎曼流形都具有相同的无穷小结构.


定义 [黎曼等距同构]
黎曼流形 $(M,g_M)$ 与 $(N,g_N)$ 等距同构是指存在一微分同胚 $F:M\rightarrow N$, 使得 $F^* g_N=g_M$. 即
\[
g_N(F_*(v),F_*(w))=g_M(v,w),\quad\forall\ v,w\in T_p M,\ \forall\ p\in M.
\]
这里 $F_*$ 指切映射, 有时也记为 $DF$. 此时, $F^{-1}:N\rightarrow M$ 也是一黎曼等距同构(Riemannian isometry).


设 $F:M\rightarrow N$ 是一浸入(或嵌入), $(N,g_N)$ 是一黎曼流形. 则可以通过度量的拉回建立 $M$ 上的黎曼度量. $g_M:= F^* g_N$, 即 $g_M(v,w):= g_N(F_*(v),F_*(w))$. 注意到如果 $F_*(v)=0$ 能够推出 $v=0$, 则定义了一个内积.

定义 [黎曼浸入, 黎曼嵌入]
对于黎曼流形 $(M,g_M)$, $(N,g_N)$, 若存在浸入(或嵌入)映射 $F:M\rightarrow N$ 使得 $F^* g_N=g_M$, 则称 $F:M\rightarrow N$ 是一黎曼浸入(Riemannian immersion)(或黎曼嵌入(Riemannian embeding)).


黎曼浸入也叫 isometric immersion, 但应注意黎曼浸入(或黎曼嵌入)未必是保距离的(distance-preserving). 例如由嵌入映射 $S^n(r)\hookrightarrow\mathbb{R}^{n+1}$ 所诱导的 $S^n(r)$ 上的度量是球面 $S^n(r)$ 上的标准度量. 但是此嵌入映射并不是保距离的. 还有一个不是太直观的例子也能反映黎曼浸入(或黎曼嵌入)与保距映射之间的不同.

例. 当 $k < n$ 时, 有多种线性(浸入)映射可以将 $(\mathbb{R}^k,\text{can})$ 映入 $(\mathbb{R}^n,\text{can})$. 但这些并非所有的等距浸入. 事实上, 任意单位速度曲线 $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$, $|\dot{\gamma}(t)|=1$, $\forall\,t\in\mathbb{R}$ 都是 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^2$ 等距浸入的例子. 比如, $t\mapsto(\cos t,\sin t)$ 是一个等距浸入, 而 $t\mapsto(\log(t+\sqrt{1+t^2}),\sqrt{1+t^2})$ 是一个等距嵌入. (可以验证此曲线无自交点, 即若 $(\log(t+\sqrt{1+t^2}),\sqrt{1+t^2})=(\log(t'+\sqrt{1+{t'}^2}),\sqrt{1+{t'}^2})$, 则可推出 $t=t'$.)

现在令 $F:\mathbb{R}^k\rightarrow\mathbb{R}^{k+1}$ 为 $F(x^1,\ldots,x^k)=(\gamma(x^1),x^2,\ldots,x^k)$, 其中 $\gamma(\cdot)$ 如上所述. 则 $F$ 就是 $\mathbb{R}^k$ 到 $\mathbb{R}^{k+1}$ 的非线性等距浸入(或等距嵌入).


定义 [黎曼淹没]
$F:(M,g_M)\rightarrow(N,g_N)$ 是黎曼淹没(Riemannian submersion), 如果满足
(1) $F:M\rightarrow N$ 是淹没映射,
(2) 对任意 $p\in M$, $(DF)_p:\,\ker^{\perp}(DF)_p\rightarrow T_{F(p)}N$ 是一线性等距同构.
换句话说, 若 $v,w\in T_p(M)$ 正交于 $DF:\,T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$ 的核, 则
\[
g_M(v,w)=g_N(DF(v),DF(w)).
\]
这也相当于说 ${(DF)}_{p}^{*}:\,T_{F(p)}N\rightarrow T_pM$ 保持向量的内积. 因此, 这个概念与黎曼浸入是对偶的.


例. 正交投影 $(\mathbb{R}^n,\text{can})\rightarrow(\mathbb{R}^k,\text{can})$ ($k

例. 一个不太平凡的例子是 Hopf 纤维化 $S^3(1)\rightarrow S^2(\frac{1}{2})$. F.Wilhelm 发现这个映射可以写为
\[
\pi:\ (z,w)\mapsto\bigl(\frac{1}{2}(|w|^2-|z|^2),z\bar{w}\bigr).
\]
当然, 这里 $S^3(1)\subset\mathbb{C}^2$, $S^2(\frac{1}{2})\subset\mathbb{R}\oplus\mathbb{C}$.

证明. 首先验证以下, 这个映射定义是合理的. 任取 $S^3(1)$ 上一点 $(z,w)$, 记 $z=a+ib,w=c+id$, 这里 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$. 于是 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. 现在 $\pi$ 可以写为
\[
\pi:\ (a,b,c,d)\mapsto\Bigl(\frac{1}{2}[(c^2+d^2)-(a^2+b^2)],ac+bd,bc-ad\Bigr)
\]
计算右边点的模长平方
\[
\begin{split}
&\Bigl(\frac{1}{2}[(c^2+d^2)-(a^2+b^2)]\Bigr)^2+(ac+bd)^2+(bc-ad)^2\\
=&\frac{1}{4}\Bigl[(c^2+d^2)^2-2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(a^2+b^2)^2\Bigr]+(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(b^2c^2-2abcd+a^2d^2)\\
=&\frac{1}{4}\Bigl[(c^2+d^2)^2-2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(a^2+b^2)^2\Bigr]+(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\
=&\frac{1}{4}\Bigl[(c^2+d^2)^2+2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(a^2+b^2)^2\Bigr]\\
=&\Bigl[\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2)\Bigr]^2\\
=&(\frac{1}{2})^2,
\end{split}
\]
因此 $\pi$ 定义合理. 根据 $\pi$ 的定义, 显然有 $\pi\bigl((e^{i\theta}z,e^{i\theta}w)\bigr)=\pi((z,w))$. 因此 $(e^{i\theta}z,e^{i\theta}w)=e^{i\theta}(z,w)$ 是同一纤维上的点. 对 $e^{i\theta}(z,w)$ 中的 $\theta$ 在 $\theta=0$ 处求导, 可得 $i(z,w)$ 是与纤维相切的. 在点 $(z,w)$ 的切空间中与 $i(z,w)$ 相垂直的向量形如 $\lambda(-\bar{w},\bar{z})$, 其中 $\lambda\in\mathbb{C}$. 事实上,
\[
\bigl\langle i(z,w),\lambda(-\bar{w},\bar{z})\bigr\rangle=i\bar{\lambda}\bigl\langle (z,w),(-\bar{w},\bar{z})\bigr\rangle=i\bar{\lambda}(\langle z,-w\rangle+\langle w,z\rangle)=0.
\]
要证明 $\pi$ 是黎曼淹没, 根据定义, 即要验证对于垂直于纤维的向量, 映射 $\pi$ 保持内积. 而这只需验证保持向量的模长即可. 由于 $|\lambda(-\bar{w},\bar{z})|=|\lambda|$, 故要验证 $|\pi_*(\lambda(-\bar{w},\bar{z}))|=|\lambda|$. 问题的难点首先在于如何计算 $\pi_*(\lambda(-\bar{w},\bar{z}))$.

将 $(z,w)+\lambda(-\bar{w},\bar{z})=(z-\lambda\bar{w},w+\lambda\bar{z})$ 视为参数是 $\lambda$ 的复曲线. 易见其模长是 $1+|\lambda|^2$, 此曲线仅当 $\lambda=0$ 时才位于 $S^3(1)$ 中. $\pi$ 将它映为
\[
\pi:\ (z-\lambda\bar{w},w+\lambda\bar{z})\mapsto\Bigl(\frac{1}{2}(|w+\lambda\bar{z}|^2-|z-\lambda\bar{w}|^2),(z-\lambda\bar{w})\overline{(w+\lambda\bar{z})}\Bigr).
\]
这也是关于 $\lambda$ 的复曲线. 我们只要写出其中关于 $\lambda$ 的一次项就得到 $\pi_*(\lambda(-\bar{w},\bar{z}))$. 先将右端的曲线详细写出
\[
\begin{split}
&\biggl(\frac{1}{2}\Bigl[(w+\lambda\bar{z})(\bar{w}+\bar{\lambda}z)-(z-\lambda\bar{w})(\bar{z}-\bar{\lambda}w)\Bigr],\ (z-\lambda\bar{w})(\bar{w}+\bar{\lambda}z)\biggr)\\
=&\biggl(\frac{1}{2}\Bigl[(1-|\lambda|^2)|w|^2+2\bar{\lambda}zw+2\lambda\bar{z}\bar{w}+(|\lambda|^2-1)|z|^2\Bigr],\ z\bar{w}(1-|\lambda|^2)-\lambda\bar{w}^2+\bar{\lambda}z^2\biggr)\\
\end{split}
\]
其中关于 $\lambda$ 的一次项是
\[
\bigl(\bar{\lambda}zw+\lambda\bar{z}\bar{w},-\lambda\bar{w}^2+\bar{\lambda}z^2\bigr)=(2\text{Re}(\bar{\lambda}zw),-\lambda\bar{w}^2+\bar{\lambda}z^2)
\]
而其模长的平方为
\[
\begin{split}
&\bigl(2\text{Re}(\bar{\lambda}zw)\bigr)^2+|-\lambda\bar{w}^2+\bar{\lambda}z^2|^2\\
=&4\bigl(\text{Re}(\bar{\lambda}zw)\bigr)^2+(-\lambda\bar{w}^2+\bar{\lambda}z^2)(-\bar{\lambda}w^2+\lambda\bar{z}^2)\\
=&|\lambda|^2(|z|^4+|w|^4)+4\bigl(\text{Re}(\bar{\lambda}zw)\bigr)^2-(\bar{\lambda}zw)^2-\overline{(\bar{\lambda}zw)^2}\\
\end{split}
\]
令 $m=\bar{\lambda}zw=x+iy$, 则上式的后三项为
\[
\begin{split}
&4(\text{Re}m)^2-(m^2+\overline{m^2})\\
=&4x^2-\bigl[(x+iy)^2+(x-iy)^2\bigr]\\
=&4x^2-(2x^2-2y^2)\\
=&2(x^2+y^2)\\
=&2|m|^2\\
=&2|\bar{\lambda}zw|^2.
\end{split}
\]
代入上一式, 得到模长平方为
\[
|\lambda|^2(|z|^4+|w|^4)+2|\lambda|^2|z|^2|w|^2=|\lambda|^2(|z|^2+|w|^2)^2=|\lambda|^2.
\]
因此, $|\pi_*(\lambda(-\bar{w},\bar{z}))|=|\lambda|$, 即映射 $\pi$ 是一个黎曼淹没.


最后, 我们应提一下黎曼流形的推广, 即所谓的半黎曼流形(semi-Riemannian manifold)(或伪黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)). 它应满足下面三个条件

•   首先是一个微分流形.
•   在每个切空间上定义有一个光滑变动的对称双线性型形式 $g$.
•   $g$ 是非退化的, 即对 $\forall\,\vec{0}\neq v\in T_pM$, $\exists\, w\in T_pM$, s.t. $g(v,w)\neq 0$.

这显然是黎曼度量的推广, 我们可以称这种度量为半黎曼度量(semi-Riemannian metric)(或伪黎曼度量(pseudo-Riemannian metric)). 回忆我们在定义黎曼度量时有更严格的限制性假设, 即对 $\forall\,v\neq\vec{0}$, $g(v,v)>0$. 这里 $g$ 少了正定性条件.

这样的伪黎曼流形的每个切空间均存在一个直和分解 $T_pM=P\oplus N$, 使得 $g$ 在子空间 $P$ 上是正定的, 而在子空间 $N$ 上是负定的. 根据线性代数的知识, 这样的分解(或这样的子空间选择)不是惟一的, 不过它们的维数是确定的. 由 $g$ 的连续性, 可知附近的切空间有类似的分解, 即分解中的子空间的维数是保持一致的. 于是我们可以对一个连通的伪黎曼流形定义一个指标, 即分解中子空间 $N$ 的维数. $\text{ind}(M):=\dim N$.

例. 设 $n=n_1+n_2$, $\mathbb{R}^{n_1,n_2}=\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$. 则 $\mathbb{R}^{n_1,n_2}$ 中的向量可以写为 $v=v_1+v_2$, 其中 $v_1\in\mathbb{R}^{n_1}$, $v_2\in\mathbb{R}^{n_2}$. 指标为 $n_1$ 的一个自然的半黎曼度量可以这样来定义
\[
g\bigl((p,v),(p,w)\bigr):= -v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2,
\]
这里 $w=w_1+w_2$. 当 $n_1=1$ 或 $n_2=1$ 时, 就是 Minkowski 空间(传统意义的 Minkowski 空间指 $\mathbb{R}^{1,3}$). 我们将在第三章中用到此空间.