问题及解答

1. 设 $a$ 和 $b > 2$ 是正整数, 证明 $2^b-1\nmid 2^a+1$.

2. 若 $2^n+1=xy$, 这里 $x,y$ 是大于 1 的两个整数, 且 $n > 0$. 证明 $2^a\mid(x-1)\Leftrightarrow 2^a\mid(y-1)$.

3. 若 $2^n+1$ 是素数, 则 $n=2^m$.

4. 若 $2^n-1$ 是素数, 则 $n$ 自身一定是一个素数.

5. $2^n-1$ 的素因子个数少于 $n$ 个.

References:

Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the theory of numbers. (fifth edition), by John Wiley & Sons, Inc.