问题及解答

(1) $(n-1)!$ 不能被 $n$ 整除, 这样的 $n$ 是什么?

(2) $(n-1)!$ 不能被 $n^2$ 整除, 这样的 $n$ 是什么?

(1) 这样的 $n$ 是 $4$ 或者是素数.

首先 $4$ 或者素数显然满足条件. 现假设 $n=ab$ 且 $a < b < n-1$, 则 $(n-1)!$ 一定可被 $n$ 整除.

如果 $n$ 是某个素数的平方, 如 $n=p^2$, $p$ 是大于 2 的素数, 则 $n-1 > 2p$, 从而 $(n-1)!$ 一定可被 $n$ 整除.

如果 $n=a^2$, $a$ 不是素数, 则不妨设 $a=pb$, $p$ 是素数, 于是 $n=p^2b^2=p\cdot pb^2$, 利用上面的结论即可.

(2) 这样的数是 $n=8,9,p,2p$, 这里 $p$ 指素数.

首先 $(8-1)!=7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$, 显然 $8^2\nmid(8-1)!$

类似的, $9^2\nmid(9-1)!$.

对于素数 $p$, 由于 $p\nmid (p-1)!$, 当然有 $p^2\nmid (p-1)!$.

对于 $2p$, 也很好理解,

\[
\frac{(2p-1)!}{4p}=(2p-1)(2p-2)(2p-3)\cdots(p+1)(p-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1
\]

这些因子中没有一个是 $p$ 的倍数, 因此 $(2p)^2\nmid(2p-1)!$.

参见[1] 第133题

Reference:

[1] George Pólya, Gabor Szegő, Problems and Theorems in Analysis I, Springer, Reprinted in China by Beijing World Publishing Corporation, 2004.