问题及解答

设 $\Omega$ 是某个实向量空间 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明存在 $V$ 的一组基

\[
u_1,\ldots,u_k; e_1,\ldots,e_n; f_1,\ldots,f_n;
\]

使得对所有的 $i,j,l,m$, 有

\[
\begin{array}{ll}
\Omega(u_i,v)=0,& \forall\ i, \forall\ v\in V\\
\Omega(e_i,e_j)=0=\Omega(f_i,f_j),& \forall\ i,j\\
\Omega(e_i,f_j)=\delta_{ij},& \forall\ i,j
\end{array}
\]

注意: 定理中这样的基并不惟一, 但我们还是将这组基称为典范的.

在这组基下, 双线性形式 $\Omega(\cdot,\cdot)$ 可表示为下面的矩阵形式:

\[
\Omega(u,v)=[--- u ---]
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & Id\\
0 & -Id & 0
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
|\\ v\\ |
\end{bmatrix}
\]

定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
\widetilde{\Omega}:\ V&\rightarrow& V^*\\
v&\mapsto&\widetilde{\Omega}(v)
\end{array}
\]

这里定义 $\widetilde{\Omega}(v)(u):=\Omega(v,u)$. 显然 $\widetilde{\Omega}$ 是一个线性映射. 并且 $\widetilde{\Omega}$ 的核(kernel)就是上面的子空间 $U$.

Def. 如果 $\widetilde{\Omega}$ 是双射, 即 $U=\{0\}$, 则称反对称双线性形式 $\Omega$ 是辛的(symplectic)或是非退化的(nondegenerate). 此时称 $\Omega$ 为向量空间 $V$ 上的线性辛结构. $(V,\Omega)$ 称为辛向量空间.

假设 $V$ 是 $2n$ 维实向量空间(或者是某个域上的向量空间, 但是要求这个域的特征为零),  $\Omega$ 是 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明: $\Omega^n=\underbrace{\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega}_{n}\neq 0$ 当且仅当 $\Omega$ 非退化.

因此, 辛向量空间 $(V,\Omega)$ 具有 calibrated 的复结构.(关于复结构是 calibrated 的定义, 参见问题73.)

令

\[
U:=\{u\in V\mid\Omega(u,v)=0,\ \forall\,v\in V\}
\]

取 $U$ 的一组基 $u_1,\ldots,u_k$, 并取 $u$ 在 $V$ 中的补空间 $W$. 即满足 $V=U\oplus W$.

任取 $0\neq e_1\in W$, 则存在 $f_1\in W$, s.t. $\Omega(e_1,f_1)\neq 0$.(这样的 $f_1$ 一定能找到, 否则 $W$ 中含有 $U$ 中的元素.)

我们假设 $\Omega(e_1,f_1)=1$.

令

\[
\begin{aligned}
W_1&=\text{span}\{e_1,f_1\}\\
W_1^\Omega &=\{w\in W\mid\Omega(w,v)=0,\ \forall\ v\in W_1\}
\end{aligned}
\]

Claim: $W_1\cap W_1^\Omega=\{0\}$

Pf. 设 $V=ae_1+bf_1\in W_1\cap W_1^\Omega$, 则

\[
\left.
\begin{array}{l}
0=\Omega(v,e_1)=-b\\
0=\Omega(v,f_1)=a
\end{array}
\right\}\Rightarrow v=0.
\]

Claim: $W=W_1\oplus W_1^\Omega$

Pf. 设 $v\in W$, 有 $\Omega(v,e_1)=c$ 且 $\Omega(v,f_1)=d$. 则

\[
v=(-cf_1+de_1)+(v+cf_1-de_1)
\]

其中 $(-cf_1+de_1)\in W_1$, $(v+cf_1-de_1)\in W_1^\Omega$. 对于后者, 我们验证如下:

\[
\begin{aligned}
\Omega(v+cf_1-de_1,e_1)&=\Omega(v,e_1)+c\Omega(f_1,e_1)=c-c\Omega(e_1,f_1)=c-c=0\\
\Omega(v+cf_1-de_1,f_1)&=\Omega(v,f_1)-d\Omega(e_1,f_1)=d-d=0
\end{aligned}
\]

因此, $(v+cf_1-de_1)\in W_1^\Omega$.

设 $e_2\in W_1^\Omega$, $e_2\neq 0$. 则存在 $f_2\in W_1^\Omega$, s.t. $\Omega(e_2,f_2)\neq 0$. 设 $\Omega(e_2,f_2)=1$, 令 $W_2=\text{span}\{e_2,f_2\}$, 类似地做下去.

这个过程最终会停止, 因为 $\dim V < +\infty$. 于是我们可得到 $V$ 的分解

\[
V=U\oplus W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_n
\]

这里所有的直和关于 $\Omega$ 都是正交的. $W_i$ 的基是 $e_i,f_i$, 且 $\Omega(e_i,f_i)=1$.

Remark:

1. 子空间 $U=\{u\in V\mid\Omega(u,v)=0,\ \forall\,v\in V\}$ 的维数不依赖于基的选取. 因此, $k:=\dim U$ 是 $(V,\Omega)$ 的一个不变量.

2. 由于 $k+2n=m=\dim V$, 故 $2n$ 是 $(V,\Omega)$ 的一个不变量, $2n$ 称为 $\Omega$ 的秩(rank).

References:

Ana Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, 2000.

根据第一个回答, 对于 $V$ 的基 $u_1,\ldots,u_k$, $e_1,\ldots,e_n$, $f_1,\ldots,f_n$. 我们假设它们对应的 $V^*$ 中的 1-形式为 $u_1^*,\ldots,u_k^*$,$e_1^*,\ldots,e_n^*$, $f_1^*,\ldots,f_n^*$. 于是2-形式 $\Omega$ 可以记为

\[
\sum g_i^*\wedge g_j^*
\]

其中 $g_i$ 可以是 $u_1^*,\ldots,u_k^*$,$e_1^*,\ldots,e_n^*$, $f_1^*,\ldots,f_n^*$ 中的任意元. 但根据 $\Omega$ 的性质(参见第一个回答), 我们得到

\[
\Omega=\sum_{i=1}^{n}e_i^*\wedge f_i^*
\]

于是

\[
\begin{split}
\Omega^n&=\bigl(\sum_{n}^{i=1}e_i^*\wedge f_i^*\bigr)\wedge\cdots\wedge\bigl(\sum_{n}^{i=1}e_i^*\wedge f_i^*\bigr)\\
&=n!e_1^*\wedge f_1^*\wedge e_2^*\wedge f_2^*\wedge\cdots\wedge e_n^*\wedge f_n^*\\
&=(-1)^{n(n-1)/2}n! e_1^*\wedge e_n^*\wedge f_1^*\wedge f_n^*
\end{split}
\]

上面第二个等号是因为这 $n$ 个 2-形式作 wedge product 时, 展开式中的每一项都是一个 $2n$-形式, 只要出现两个相同的 $e_i^*$ 或两个相同的 $f_j^*$ 就等于零. 因此, 每一项中一定有关于 $e_1^*,\ldots,e_n^*$ 的排列. 而所有这样的排列总共有 $n!$ 个.

因此, $\Omega^n\neq 0$ 意味着 $\Omega$ 的秩是 $2n$, 从而 $U=\{0\}$, 即 $\Omega$ 非退化.

反过来, 假设 $\Omega$ 非退化, 则 $U=\{0\}$, 从而 $\Omega$ 的秩是 $2n$. 根据上面的计算 $\Omega^n\neq 0$.