问题及解答

给定一个有理数 $x$, 可以证明存在无穷多的分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^2}.
\]

但是, 对于那些存在无穷多个分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^3},\quad(\text{or}\ \leq\frac{1}{q^{2+\varepsilon}})
\]

成立的 $x\in\mathbb{R}$ 构成的集合来说, 却是一个零测集.