典型群的李代数、维数以及拓扑结构
| $G$ | $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ | $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ | $\mathrm{O}(n,\mathbb{R})$ | $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ | $\mathrm{U}(n)$ | $\mathrm{SU}(n)$ | $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\mathfrak{g}$ | $\mathfrak{g}(n,\mathbb{R})$ | $\mathrm{tr} x=0$ | $x+x^t=0$ | $x+x^t=0$ | $x+x^*=0$ | $x+x^*=0,\mathrm{tr} x=0$ | $x+Jx^t J^{-1}=0$ |
| $\dim G$ | $n^2$ | $n^2-1$ | $\frac{n(n-1)}{2}$ | $\frac{n(n-1)}{2}$ | $n^2$ | $n^2-1$ | $n(2n+1)$ |
| $\pi_0(G)$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\{1\}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\{1\}$ | $\{1\}$ | $\{1\}$ | $\{1\}$ |
| $\pi_1(G)$ | $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ | $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ | $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ | $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ | $\mathbb{Z}$ | $\{1\}$ | $\mathbb{Z}$ |
对于复典型群, 其李代数和维数的公式与实李群一致. 但是复李群的拓扑与实的有所不同, 见下表.
| $G$ | $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ | $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ | $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$ | $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ |
|---|---|---|---|---|
| $\pi_0(G)$ | $\{1\}$ | $\{1\}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\{1\}$ |
| $\pi_1(G)$ | $\mathbb{Z}$ | $\{1\}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ |
注意到一些典型群并不是单连通的. 如在问题868所证, 此时其万有覆盖空间具有典型的李群结构. 其中特别重要的是 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 的万有覆盖, 我们称之为 spin 群, 记为 $\mathrm{Spin}(n)$. 这样称的原因是 $\pi_1(\mathrm{SO}(n,\mathbb{R}))=\mathbb{Z}_2$, 这是一个二重覆盖(twofold cover).
References:
Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras.