记号的不统一会带来一些困扰, 比如有时用 $\text{Rc}$ 或 $\text{Ric}$ 指 Ricci 曲率, 这还好, 但是一般黎曼几何的书 $R$ 指曲率张量, 但到了几何分析, $R$ 一般指数量曲率, 曲率张量用 $\text{Rm}$ 表示. 而在黎曼几何书中, 数量曲率一般用 $\text{scal}$ 表示.

以下为了方便, 统一记号. 使更有利于黎曼几何与几何分析的学习.

• 曲率张量 $\text{Rm}$,
• Ricci 曲率 $\text{Ric}$,
• 截面曲率张量 $\text{sec}$,
• 数量曲率 $R$ 或 $\text{scal}$

Hamilton 的 Ricci 流方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2R_{ij},
\]

这里 $R_{ij}$ 就是 $\text{Ric}_{ij}$, 因此我们宁愿将之写为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2\text{Ric}_{ij}.
\]

Evolution equation for the scalar curvature

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

 $R$ 是指数量曲率, 不是指曲率张量 $R(X,Y)Z$, 一般曲率张量在此时记为 $\text{Rm}(X,Y)Z$. 黎曼几何有的书也记数量曲率为 $\text{scal}$ 或 $S$, Ricci 曲率为 $\text{Ric}$. 因此也可以将上面的方程记为

\[
\frac{\partial}{\partial t}\text{scal}=\Delta\text{scal}+2|\text{Ric}|^2
\]

但显然没有上面的记号来得好. 因此有时记号的统一是非常必要的.