证明: $S^{n-1}$ 不是 $D^n$ 的收缩核.

这里 $S^{n-1}=\partial D^n$, $D^n$ 是指 $n$ 维单位闭球: $\{x\in\mathbb{E}^{n}\mid |x|\leqslant 1\}$.

本题也就是要证明不存在这样的连续映射:

\[r:\ D^n\rightarrow S^{n-1}\]

使得 $r|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}$.

这样的映射称为收缩映射, 像称为收缩核.

证明的思路是这样的, 首先假设存在这样的连续映射 $r$. 然后断言, 一定可以构造一个光滑映射

\[f:\ D^n\rightarrow S^{n-1},\quad\text{s.t.} f(x)=x\ \forall\ x\in S^{n-1}\]

从而应用带边情形的正则值原像定理, 若 $q\in S^{n-1}$ 是 $f$ 的一个正则值, 则 $f^{-1}(q)$ 是 $D^n$ 的 1 维正则光滑子流形, 并且

\[\partial f^{-1}(q)=f^{-1}(q)\cap\partial D^n.\]

由于 $f^{-1}(q)$ 是 $D^n$ 中的闭集, 因此也是紧致的. 但根据定理, 紧致 1 维微分流形的边界应由偶数个点组成 (见问题903). 但是从 $f$ 的构造,

\[\partial f^{-1}(q)=f^{-1}(q)\cap\partial D^n=\{q\}\]

从而得到矛盾.

因此, 问题归结为如何构造这样的光滑映射 $f$.