[Lagrange 定理]四平方定理
定理. (Lagrange 定理) 每个正整数都是四个平方数之和.
这个定理可以用纯数论的办法证明, 也可以利用几何中的 Minkowski 定理证明.
两种证法都需要证明每个素数是四个平方数的和, 然后利用 Euler 的恒等式
\[
\begin{split}
&(a^2+b^2+c^2+d^2)(A^2+B^2+C^2+D^2)\\
=&(aA-bB-cC-dD)^2+(aB+bA+cD-dC)^2\\
&+(aC-bD+cA+dB)^2+(aD+bC-cB+dA)^2
\end{split}
\]
或写为
\[
\begin{split}
&(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)\\
=&(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2+(x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2\\
&+(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2-x_2y_4)^2+(x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2)^2
\end{split}
\]