设 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2\}$, 比较下面三个二重积分的大小

\[
M=\iint_{D}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,
\]

\[
N=\iint_{D}\bigl[\ln(x^2+y^2)\bigr]^2\mathrm{d}\sigma,
\]

\[
P=\iint_{D}(x^2+y^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]

Answer:   $N < M < P$.

Hint: we have the inequality $\ln(1+t) < t$ for $t > 0$.

如果 $D$ 改为

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 4\}$, 那就只能手算了. 此时答案是:  $M < N < P$.

具体的, 

\[
\begin{aligned}
M&=\pi(8\ln 2-3),\\
N&=4\pi\bigl[4(\ln 2)^2-4\ln 2+\frac{3}{2}\bigr],\\
P&=\frac{9}{2}\pi.
\end{aligned}
\]