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Questions in category: 群论 (Group Theory).

Posted by haifeng on 2011-08-09 15:27:36 last update 2011-08-14 16:44:57 | Answers (0)

无限循环群与整数环 $\mathbb{Z}$ 的加法群同构;
有限 $n$ 阶循环群与 $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/(n)$ 的加法群同构;
由上推出: 同阶(有限或无限)循环群必互相同构.
循环群的子群仍为循环群.
无限循环群 $C=\langle a\rangle$ 的子群除 1 以外都是无限循环群, 且对每个正整数 $s$, 对应有一个子群 $\langle a^s\rangle$.
有限 $n$ 阶循环群 $C_n=\langle a\rangle$ 的子群的阶是 $n$ 的因子, 且对每个 $m\mid n$, 存在唯一的 $m$ 阶子群 $\langle a^{n/m}\rangle$.
循环群的子群都是正规子群, 也都是特征子群和全不变子群.
循环群(非单位群)的生成元不唯一. 无限循环群 $\langle a\rangle$ 的生成元为 $a,a^{-1}$; 有限 $n$ 循环群 $\langle a\rangle$ 生成元为 $a^{\ell}$, 其中 $\ell$ 与 $n$ 互素, 所以有 $\varphi(n)$ 个生成元.