证明:

\[\varphi:\ (x,y,z)\mapsto
\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}
\]

是李代数 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 与 $\mathfrak{so}(3)$ 之间的同构.

(这里 $\times$ 是指 $\mathbb{R}^3$ 中向量的叉积, 即定义 $[v,w]:=v\times w$.)

证明: 反对称矩阵的旋转共轭就是 $\mathbb{R}^3$ 中通常的旋转作用.

即, 若 $A\in SO(3)$, 向量 $v=(x,y,z)$ 对应于反对称矩阵

\[\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}\]

则

\[A\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}A^{-1}=A\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}.\]

确定伴随作用的轨道. 验证 $\mathbb{R}^3\rightarrow [0,+\infty)$ 是商映射 $\mathfrak{so}(3)\rightarrow\mathfrak{so}(3)/SO(3)$.