设 $y_n\rightarrow a$, $x_n\rightarrow a$, 问 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a)$ 成立的条件
设 $f(x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_n$ 递增趋于 $a$, $y_n$ 递减趋于 $a$, 则有
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a).
\]
应用此结论, 求解极限
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}x^4\Bigl(\arctan(2+\frac{3}{x^2+1})-\arctan(2+\frac{3}{x^2+2})\Bigr)
\]
References:
Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition. Problem 1.4.21 (Sp91).