Erdős–Straus conjecture

对任意正整数 $n\geqslant 2$, 是否存在正整数 $x,y,z$, 使得方程

\[
\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\]

成立?
 

例如：

\[
\frac{4}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1},
\]

\[
\frac{4}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},
\]

\[
\frac{4}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2},
\]

\[
\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}.
\]

一个显然的事实是, 当 $n\equiv 2\pmod 3$ 时, $\frac{4}{n}$ 可以表示为

\[
\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)/3}+\frac{1}{n(n+1)/3}.
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Straus_conjecture