20世纪第一个关于方阵特征值的界是由 Hirsch 于 1900 年给出的.

定理 (Hirsch) 设 $A=(a_{k\ell})_n$ 是 $n$ 阶复方阵. 记 $B=\frac{1}{2}(A+\bar{A}^T)=(b_{k\ell})_n$, $C=\frac{1}{2i}(A-\bar{A}^T)=(c_{k\ell})_n$, 其中 $i=\sqrt{-1}$, 且记

\[
\begin{aligned}
M_A=\max\{|a_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_B=\max\{|b_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_C=\max\{|c_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},
\end{aligned}
\]

其中 $|a_{k\ell}|$ 表示复数 $a_{k\ell}$ 的模. 设 $\lambda_0$ 是方阵 $A$ 的特征值, 则

\[
\lambda_0\leqslant nM_A,\quad |\mathrm{Re}\lambda_0|\leqslant nM_B,\quad |\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant nM_C,
\]

其中 $\mathrm{Re}\lambda_0$ 与 $\mathrm{Im}\lambda_0$ 分别是复数 $\lambda_0$ 的实部与虚部.

如果 $A$ 是实方阵, 则 $|\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant M_C\cdot\bigl(\frac{n(n-1)}{2}\bigr)^{1/2}$.

Hirsch 定理的一个直接应用是证明下面的定理.

定理. Hermite 矩阵与实对称矩阵的特征值都是实数.

参见 [1]  P. 337

References:

[1] 李炯生, 查建国 编著 《线性代数》,  中国科学技术大学出版社.