[高中题]
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个实值函数, 满足
\[g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),\tag{*}\]
且 $f(x)$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称, 函数 $g$ 满足 $g(0)=g(2)=1$.
问下面哪些选项是正确的.
(A) $f(x)$ 是偶函数;
(B) $g(x)$ 是偶函数;
(C) $g(-1-x)=-g(-1+x)$;
(D) $g(1-x)=g(1+x)$.
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