对于自守函数(automorphic functions)理论推广至多变量情形, 需要下面三个步骤:

1) 找出 $m$ 维复向量空间中所有有界的 simple domain E. 这个 E 是对应于某个多变元解析映射的, 其所对应的共形映射全体构成群 $\Omega$, 关于这个群, E 是对称空间.

2) 研究 E 的不变几何性质,  找出 $\Omega$ 中的不连续子群 $\Delta$, 并构建它们的基本域(fundamental domains).

3) To study the field of automorphic functions in E with the group $\Delta$.

第一个步骤以经由 Cartan 完成, 他找到了6种不同类型的不可约 domain E. 比如所有有界简单对称解析空间, 以及可由它们通过解析映射和拓扑乘积得到的空间. (such that all other bounded simple symmetric analytic spaces can be derived from them by analytic mappings and topological products.)

References:

Carl Ludwig Siegel, Symplectic Geometry. Institute for advanced study, Princeton, N. J.