一个集合 $G$ 如果它既是群, 又是(smooth 的实)流形, 并且这两个结构(群结构与微分结构)相容, 即群的乘法与逆运算是 smooth 映射. 则称 $G$ 是李群.

值得注意的是: 其中逆运算是光滑的这一条件可以去掉, 因为对于李群, 可以证明逆运算是光滑的, 但是对于拓扑群做不到. (参见梅加强著 《流形与几何初步》推论1.6.2)

李群之间的同态是指保持群运算的光滑映射: $f(gh)=f(g)f(h)$, $f(1)=1$.

Remark:

(1) 这里的 smooth 没有翻译成“光滑”, 主要是因为英文中的 smooth 可以用多种情形解释. 如 $C^1$-smooth, $C^\infty$-smooth, 或 analytic (解析).

可以证明, 在李群的定义中, 这些都是等价的(见下面的定理), 因此我们总是假定 $G$ 是光滑(指 $C^\infty$-光滑)流形. 另为可以类似地定义复李群, 但如果不特别指明, 我们所讲的李群都是指实李群.

[Thm] 每个 $C^0$ 李群都有惟一的解析结构.

这是一个非平凡结果, 它是 Hilbert 20 个问题之一.

不过从 $C^2$ 推出解析性非常容易, 可参见 [2,$\S$1.6]

(2) 注意李群的定义中并没有要求 $G$ 是连通的. 因此任意有限群都是 0 维李群. 由于有限群的理论已经足够复杂, 因此将有限群(更一般的, 离散群)单独分开来考虑.

[Thm] 李群 $G$ 的单位元的连通分支 $G^0$ 是 $G$ 的正规子群, 且仍是一个李群. 商群 $G/G^0$ 是离散的. (证明参见问题844)

这个定理把任意李群的研究约化为对有限群的研究和连通李群的研究. 事实上, 对于连通李群的研究可以进一步约化为对单连通李群的研究.

[Def] 李子群

李群 $G$ 的子群 $H$ 若是 $G$ 的子流形, 则称 $H$ 是 $G$ 的李子群.

Remark:

这里的子流形应理解为“嵌入子流形”. 特别地, 这意味着 $H$ 是局部闭的(locally closed), 但不必是闭的. 但后面会证明, 它自动是闭的.

一些书定义李子群(Lie subgroup) 时，子流形指更一般的“浸入子流形”. 而这里我们称之为

[Def] 李群的浸入子群(an immersed subgroup in a Lie group)

设 $G$ 是李群, $H\subset G$, 若 $H$ 满足

(1) $H$ 是 $G$ 的子群.
(2) $H$ 是一浸入子流形. $H=\mathrm{Im}(i)$, $i:\tilde{H}\hookrightarrow G$ 是一单的浸入.

Remark: 这个术语不是十分标准: 我们称为的浸入子群在其他书中被称为“解析子群(analytic subgroup)”或甚至是“李子群(Lie subgroup)”.

这里的内容译自 [1].

References:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

[2] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, 2000.