This slide is based on the book of Mark Allen Weiss
张怀勇等译.
And the bool of Sartaj Sahni
王立柱、刘志红 译
\[ E\subset\{[v_i, v_j]\ :\ v_i, v_j\in V\} \]
有时边也记作 $(v,w)$, 其中 $v,w\in V$. 边也称为
无序配对指 $[v_i, v_j]=[v_j, v_i]$. 此时图 $G$ 称为无向图.
如果 $[v_i,v_j]$ 中 $v_i$ 是起点或源点, $v_j$ 是终点, 则称 $[v_i,v_j]$ 是有向边, 图 $G$ 是有向图(digraph).
顶点 $v$ 和 $w$ 邻接(adjacent)当且仅当 $[v,w]\in E$. 在无向图中, 若 $v$ 与 $w$ 邻接, 显然, $w$ 与 $v$ 也邻接, 此时邻接是对称关系.
有时边还具有第三种成分, 称作权(weight)或值(cost).
图中的一条
每一条边也可以有自己的长度, 如果
设 $w_1,w_2,w_3,\ldots,w_n$ 是图中一条路径, 若除第一和最后一个点外, 其余所有顶点均不同, 则称之为
起始点和终点相同的简单路径被称为
设 $G=(V,E)$ 是一个无向图. 若 $G$ 中任两个顶点都存在一条路径连接, 则称 $G$ 是
没有环路的连通无向图称为
如果图 $H=(V_H, E_H)$ 的顶点集合和边的集合都是图 $G=(V,E)$ 的子集, 即 $V_H\subset V$, $E_H\subset E$, 则称 $H$ 是 $G$ 的一个子图.
$G$ 的一个子图, 如果包含 $G$ 的所有顶点, 且是一棵树, 则称为 $G$ 的
假设 $G$ 是一个带权的图, 生成树的成本是所有链路成本之和.
一个具有 $n$ 个顶点的连通无向图至少有 $n-1$ 条边. 因此, 当连通网络的每条链路的建造成本都相同时, 即每条边的权都相同时, 任意一棵生成树的建设成本都可以将网络建设成本减至最小, 并保证网络的连通性.
如果不同的链路具有不同的建造成本, 即不同的边具有不同的权, 那么需要在一棵成本最小的生成树上建设链路.
图 $G=(V,E)$ 的顶点集 $V$ 分为两个互不相交的子集的并, 即 $V=V_1\cup V_2$, 且 $E$ 仅由 $(v_{1i}, v_{2j})$ 组成, 这里 $v_{1i}\in V_1$, $v_{2j}\in V_2$, 则称 $G$ 是一个
假设你正在策划一次国际会议, 所有发言人都只说英语. 我们假设英语母语的听众不需要翻译. 每一个(非英语为母语的)与会人员所能听懂的语言是 $\{L_1,L_2,\ldots, L_n\}$ 中的一种. 翻译小组可以在英语和其他语言之间互译. 现在的任务是如何使得翻译小组的人数最少.
在一个无向图中, 与顶点 $v_i$ 相关联的边的总数称为该顶点的
性质. 设 $G=(V,E)$ 是一个无向图. 令 $n=|V|$, $e=|E|$, 则
证明. 在无向图中, 每一条边都与两个顶点关联, 因此顶点的度之和等于边数的两倍. 第二个结论显然.
一个具有 $n$ 个顶点和 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边的无向图称为
设 $G$ 是有向图, 顶点 $v_i$ 的
顶点 $v_i$ 的
性质. 设 $G=(V,E)$ 是一个有向图. 令 $n=|V|$, $e=|E|$, 则
如果入度用正数表示, 出度用负数表示, 则 \[ \sum_{i=1}^{n}d_i^{\mathrm{in}}+\sum_{i=1}^{n}d_i^{\mathrm{out}}=0. \]
证明. 对于有向图中每条边 $(v_i, v_j)$, 它贡献了一个出度给 $v_i$, 贡献了一个入度给 $v_j$. 因此若采用上面的出度为负, 入度为正的写法, 则在计算所有顶点的出度和入度总和时, 结果总时 0.
| 记号 | 含义 | 英文 |
|---|---|---|
| $V(G)$ | 图 $G$ 的顶点集 | |
| $E(G)$ | 图 $G$ 的边的集合 | |
| $|V|$ | 集合 $V$ 中元素个数, 即顶点个数 | |
| $|E|$ | 集合 $E$ 中元素个数, 即边的条数 | |
| $|G|$ | 定义为 $|V(G)|$, 即图 $G$ 中顶点个数, 称为图 $G$ 的阶. | order of $G$ |
| $e(G)$ | 图 $G$ 中边的条数, 即 $|E(G)|$. | size of $G$ |
| $x\in G$ | 如果 $x$ 是 $G$ 的一个顶点, 即 $x\in V(G)$, 通常简写为 $x\in G$. | |
| $xy$ | 边 $xy$ | |
| $G^n$ | 阶为 $n$ 的图 $G$. | |
| $G'\subset G$ | 图 $G'=(V',E')$ 是图 $G=(V,E)$ 的子图, 即要求 $V'\subset V$ 且 $E'\subset E$. | subgraph |
| $G\cong H$ | 两个图同构, 可以简写为 $G=H$. | $G$ is isomorphic to $H$ |
| $\Gamma(x)$ | 与顶点 $x$ 关联的点之集. | set of adjacent points of vertex $x$. |
| $d(x)$ | 顶点 $x$ 的度, 即定义为 $d(x)=|\Gamma(x)|$. | degree of vertex $x$ |
| $d^{+}(x)$ | $x$ 的出度, 即 $d^{+}(x)=|\{y\in\Gamma(x)\mid \overrightarrow{xy}\in E\}|$ | |
| $d^{-}(x)$ | $x$ 的入度, 即 $d^{-}(x)=|\{y\in\Gamma(x)\mid \overrightarrow{yx}\in E\}|$ | |
| $\delta(G)$ | $G$ 的最小度. | minimal degree |
| $\Delta(G)$ | $G$ 的最大度. | maximum degree |
通常我们考虑有限图, 即 $|V(G)|$ 和 $|E(G)|$ 均有限的图.
Def. (同构) 图 $G=(V,E)$ 与 $G'=(V',E')$ 同构是指存在一个双射 $\phi: V\rightarrow V'$, 使得 $xy\in E$ 当且仅当 $\phi(x)\phi(y)\in E$.
显然, 同构的图拥有相同的阶和大小. 通常我们不区分两个同构的图, 除非图中有特定的标记的情况下.
Def. 度为 0 的点称为孤立点(isolated vertex).
Def. ($k$-正规图) 若 $\delta(G)=\Delta(G)=k$, 也即 $G$ 中每个顶点的度为 $k$, 则称图 $G$ 是 $k$-正规图($k$-regular graph), 或度为 $k$ 的正规图.
一个 $3$-正规图被称为立方图(cubic graph).
Claim 1. $n$ 阶图 $G$ 的大小(size) 在 $0$ 和 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ 之间.
Def. 大小为 $C_{n}^{2}$ 的图称为 $n$ 阶完全图(complete $n$-graph), 记作 $K^n$.
$n$ 阶空图指仅有 $n$ 个顶点, 边数为 0 的图, 记为 $E^n$.
Prop. 设 $G$ 是 $k$-正规图, 若 $k$ 是奇数, 则 $|G|$ 必是偶数.
Pf. 记 $m=|G|$, 则 $|E(G)|=\frac{m\cdot k}{2}$, 而 $k$ 是奇数, 故 $m$ 是偶数.
性质. 无向图 $G$ 中度为奇数的顶点个数是偶数. 即 $\#\{v_i\in V\mid \deg(v_i)\equiv 1\pmod 2\}$ 是偶数.
证明. (反证法) 假设度为奇数的顶点数目是奇数, 则这些度为奇数的顶点的度之和仍是奇数. 剩下的是度为偶数的顶点, 自然它们的度之和为偶数. 因此总的度之和是奇数, 这与 $\sum_{i=1}^{n}d_i=2e$ 矛盾.
一个有向图是
性质. 对每个 $n$ ($n >= 2$), 都存在一个恰有 $n$ 条边的强连通有向图.
证明. 取顶点集 $V=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$, 令 \[ E=\{(v_1,v_2),(v_2,v_3),\ldots,(v_{n-1},v_n),(v_n,v_1)\} \] 这样的有向图 $G=(V,E)$ 即符合要求.
性质. 每一个具有 $n$ ($n >= 2$) 个顶点的强连通有向图至少包含 $n$ 条边.
证明. (反证法) 设 $G=(V,E)$ 是具有 $n$ ($n >= 2$) 个顶点的强连通有向图, 这里 $V=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$. 假若 $e=|E| < n$, 那么至多有 $n-1$ 条边关联这 $n$ 个顶点. 对于有向图, 做不到强连通. 这是因为强连通意味着每个顶点的出度和入度都至少是 1. 因此所有度之和至少是 $2n$. 而 $\sum_{i=1}^{n}d_i^{\mathrm{in}}+\sum_{i=1}^{n}d_i^{\mathrm{out}}=2e$, 故 $e >= n$.
对无向图最常用的描述方法都是基于邻接的方式:
一个 $n$ 顶点图 $G=(V,E)$ 的
对于有向图, $A$ 中的元素定义为: \[ A_{ij}=A(i,j)=\begin{cases} 1, & \text{若}\ (i,j)\in E,\\ 0, & \text{否则}. \end{cases} \]
对于无向图, 有如下基本结论.
对于有向图,
在用数组表示邻接矩阵时, 需要考虑访问的便捷性、准确性, 以及存储的问题.
图 $G=(V,E)$ 的顶点集 $V$ 一般
由于无权图的邻接矩阵元素是 $1$ 或 $0$. 故 在矩阵阶数并不大时, 不妨利用 $A(i,j)$ 的指标 $(i,j)$ 与二维数组中元素 $A[i][j]$ 的对应性, 使用 $(n+1)\times(n+1)$ 的数组来存储邻接矩阵.
对于无向图的邻接矩阵, 此时所浪费的空间是 \[ (n+1)^2-\frac{n(n-1)}{2} \]
对于大型的无向图, 其邻接矩阵是 $n$ 阶对称矩阵, 可以视为上三角或下三角矩阵. 应使用一个大小为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的一维数组来表示.
一个顶点 $i$ 的
在一个图的邻接表描述中, 图的每个顶点都有一个邻接表. 当邻接表用链表来表示时, 就称之为
可以用存储类型为链表的数组(或向量, 比如
假定这个数组名为
每个链表节点的两个域(next和element)各需要 $4$ 个字节, 如果有 $m$ 个节点, 则需要 $4*2*m$ 个字节存储这些节点. 对于无向图, $m=2e$; 对于有向图, $m=e$. 这里 $e=|E|$ 为边数.
当 $e$ 远小于 $n^2$ 时, 邻接链表比邻接矩阵省空间. 例如, 一个 $e=n$ 的有向图, 用邻接链表描述需要 $16n+8$ 个字节,
在邻接数组中, 每一个邻接表用一个数组线性表而非链表来描述.
邻接数组比邻接链表少用 $4m$ 字节, 因为不需要
大部分的图操作, 无论是用邻接链表, 还是邻接数组, 其渐近复杂度是相同的.
根据实验, 对大部分的图操作, 邻接数组的用时要少于邻接链表.
将无权图的描述进行简单扩充就可得到加权图的描述. 用
如果 $C(i,j)$ 表示边 $(i,j)$ 的权, 那么它的使用方法和邻接矩阵的使用方法一样. 在这种描述方法中, 需要给不存在的边指定一个值, 通常是一个很大的值.
拓扑排序(topological sort)是对有向无圈图的顶点集的一种排序. 它使得若存在一条从 $v_i$ 到 $v_j$ 的路径, 则将 $v_j$ 排在 $v_i$ 的后面. 若 $v_i$ 和 $v_j$ 之间没有道路相连, 则此两个顶点的先后顺序可以任意.
显然, 如果图含有圈, 则无法进行拓扑排序.
设 $G(V,E)$ 是一个有向无圈图, $V=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$. 序列 $v_{i_1}v_{i_2}\cdots v_{i_n}$ 是 $G$ 的所有顶点的一个排列（此时 $i_1,i_2,\ldots,i_n$ 是 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列）. 若对于 $G$ 中的任意一条有向边 $v_{j}\rightarrow v_{k}$, 在拓扑排列中 $v_{j}$ 出现在 $v_{k}$ 之前, 即 $j=i_a$, $k=i_b$, 且 $a < b$, 则称此排列为 $G$ 的一个拓扑排序.
注意: 拓扑排序不一定惟一.