设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)>0$, 利用二重积分证明
\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\geq (b-a)^2\]
该题可以有好多种证法.
1) 使用重积分.
2) 应用几何不等式, 及积分的定义.
3) 应用 Hölder 不等式.
例题:
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $1\leqslant f(x)\leqslant 3$. 证明
\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}.
\]
一般的, 若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的正值连续函数, 且 $m\leqslant f(x)\leqslant M$, 则有所谓的康托罗维奇(Kantorovich)不等式:
\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{(M+m)^2}{4Mm}(b-a)^2.
\]
References:
《大学数学竞赛指导》 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组, 清华大学出版社. 2009年