问题

作为在向量丛之间定义直和运算的预备知识，我们作两个简单的观察：

(a) 给定一向量丛 $p:E\rightarrow B$ 和 $B$ 的一个子空间 $A\subset B$，则 $p:p^{-1}(A)\rightarrow A$ 显然是一个向量丛. 我们称其为 $E$ 在 $A$ 上的限制.

(b) 给定向量丛 $p_1:E_1\rightarrow B_1$ 和向量丛 $p_2:E_2\rightarrow B_2$，则

\[p_1\times p_2:\ E_1\times E_2\rightarrow B_1\times B_2\]

也是一向量丛，纤维是 $p_1^{-1}(b_1)\times p_2^{-1}(b_2)$. 这是因为如果对 $E_1,\ E_2$ 我们有局部平凡化

\[h_\alpha:p_1^{-1}(U_\alpha)\rightarrow U_\alpha\times\mathbb{R}^n\quad\text{和}\quad h_\beta:p_1^{-1}(U_\beta)\rightarrow U_\beta\times\mathbb{R}^m,\]

则 $h_\alpha\times h_\beta$ 是 $E_1\times E_2$ 的一个平凡化.


现在假设在相同的底空间 $B$ 上给定两个向量丛 $p_1:E_1\rightarrow B$ 和 $p_2:E_2\rightarrow B$, 于是乘积丛 $E_1\times E_2$ 在对角线 $B=\{(b,b)\in B\times B\}$ 上的限制仍是一个向量丛, 称为 $E_1$ 和 $E_2$ 的直和(direct sum), 记为 $p:\ E_1\oplus E_2\rightarrow B$. 于是

\[
E_1\oplus E_2=\{(v_1,v_2)\in E_1\times E_2\mid p_1(v_1)=p_2(v_2)\}.
\]

两个平凡丛的直和显然仍是平凡丛, 但是非平凡丛的直和也可能为平凡丛. 举个例子, $S^n$ 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的切丛和法丛的直和是平凡丛 $S^n\times\mathbb{R}^{n+1}$, 这是因为直和的元素是满足 $x\perp v$ 的三元组

\[(x,v,tx)\in S^n\times\mathbb{R}^{n+1}\times\mathbb{R}^{n+1},\]

并且映射 $(x,v,tx)\mapsto(x,v+tx)$ 给出了直和丛到 $S^n\times\mathbb{R}^{n+1}$ 的一个同构. 因此 $S^n$ 的切丛是 stably trivial 的: 在直和上一个平凡丛后变成平凡丛.

Remark:

我们知道 $TS^2$ 不是平凡丛, 这可从它的迁移函数看出. 回忆, 切丛 $TM$ 的迁移函数是微分流形 $M$ 的迁移函数的 Jacobian (见问题926). 而 $S^2$ 的迁移函数的 Jacobian 可以确切计算出来的.

一个不太容易理解的问题是, 如果按照上面的做法, 定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ TS^2&\rightarrow& S^2\times\mathbb{R}^2\\
(x,v)&\mapsto&(x,v)
\end{array}
\]

为什么 $\varphi$ 不是 $TS^2$ 和 $S^2\times\mathbb{R}^2$ 之间的同构?

先看一下直观的解释(非严谨): 这是因为 $TS^2$ 中的 $v\in T_x S^2$, 故 $x\perp v$, 即 $v$ 是与 $x$ 有关的. 这种取法本身已经限制了 $v$. 因此准确来讲, 映射实际指 $(x,v_x)\mapsto(x,v_x)$. 而后者, 对于 $(x,v_x)$ 所在的空间 $S^2\times\mathbb{R}^2$, 其拓扑是乘积拓扑, 这是一个四维流形. 如果一定要是映射 $(x,v_x)\mapsto(x,v_x)$, 且 $\varphi$ 是光滑的, 则 $\varphi$ 的像空间实际是 $TS^2$, 而非 $S^2\times\mathbb{R}^2$. 我们可以这样来看, 任意取定 $v\in\mathbb{R}^2$, 则对于任意的 $x\in S^2$, 都有 $(x,v)\in S^2\times\mathbb{R}^2$, 但是这样的组合 $(x,v)$ 不一定属于 $TS^2$.

或者这样来理解(非严谨): 如果一定要嵌入欧氏空间, 则不妨视为 $S^2\times\mathbb{R}^2\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^2$. 设 $x=(x^1,x^2,x^3)$, $v=(v^1,v^2,v^3)$, $x,v$ 同属于三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$. 则

\[\varphi:\ \bigl((x^1,x^2,x^3),(v^1,v^2,v^3)\bigr)\mapsto\bigl(x^1,x^2,x^3,a,b\bigr)\]

其中 $x^1v^1+x^2v^2+x^3v^3=0$. 则找不到 $a,b$ 的光滑表达式.

严谨的解释是, 假设 $\varphi$ 是同构. 任取 $v\in\mathbb{R}^2$, 通过映射 $\varphi^{-1}$, 得到 $S^2$ 上的一个光滑向量场, 但是 $S^2$ 上的光滑向量场必有零点, 因此在这点处 $\varphi$ 不是向量空间之间的同构.

另一个例子是, 典型线丛 $E\rightarrow\mathbb{R} P^n$ 与其正交补丛 $E^\perp$ 的直和

\[E\oplus E^{\perp},\]

通过映射 $(\ell,v,w)\mapsto(\ell,v+w)$ 同构于平凡丛

\[\mathbb{R}P^n\times\mathbb{R}^{n+1},\]

其中 $v\in\ell,\ w\perp\ell$.

特定到 $n=1$ 的情形, $E$ 和 $E^\perp$ 都同构于 $\mathbb{R}P^{1}=S^1$ 上的 Möbius丛, 因此 Möbius 丛与自身的直和是平凡丛. 这正是说: 如果取一个条块 $I\times\mathbb{R}^2$, 并通过 $\mathbb{R}^2$的$180^\circ$ 旋转把两个面 $\{0\}\times\mathbb{R}^2$与$\{1\}\times\mathbb{R}^2$ 粘结起来, 所得的 $S^1$ 上的丛与通过恒同映射直接粘结所得到的丛是一样的. 事实上, 我们可以逐渐减少粘合映射所要求的旋转角度, 从 $180^\circ$ 慢慢减至 $0$, 这个过程并不改变这个向量丛.
 

References:

Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory