问题

\section{旋转曲面}
考虑曲线 $\gamma(t)=(r(t),z(t)):I\rightarrow\mathbb{R}^2$, 其中 $I\subset\mathbb{R}$ 是开区间, 且 $r(t)>0$, $\forall\,t\in I$. 将该曲线绕 $z$-轴旋转一周, 即得一旋转曲面. 可表示为:
\[
(t,\theta)\mapsto f(t,\theta)=\bigl(r(t)\cos\theta,r(t)\sin\theta,z(t)\bigr).
\]

这是柱坐标表示, 在整个曲面上我们有一个自然标架 $\partial_t$, $\partial_\theta$, 与其对偶的余标架为 $dt$, $d\theta$. 我们希望在该标架下写出旋转曲面的度量, 它由 $\mathbb{R}^3$ 上的标准度量 $dx^2+dy^2+dz^2$ 诱导而来.

由于 $x=r(t)\cos\theta$, $y=r(t)\sin\theta$, $z=z(t)$. 因此有
\[
\begin{aligned}
dx&=\dot{r}(t)\cos\theta dt-r\sin\theta d\theta\\
dy&=\dot{r}(t)\sin\theta dt+r\cos\theta d\theta\\
dz=\dot{z}dt
\end{aligned}
\]
故,
\[
\begin{split}
dx^2+dy^2+dz^2&=(\dot{r}(t)\cos\theta dt-r\sin\theta d\theta)^2+(\dot{r}(t)\sin\theta dt+r\cos\theta d\theta)^2+(\dot{z}dt)^2\\
&=(\dot{r}^2\cos^2\theta+\dot{r}^2\sin^2\theta)dt^2+(\dot{r}\sin\theta\cdot r\cos\theta-\dot{r}\cos\theta\cdot r\sin\theta)dtd\theta\\
&\quad +(r\cos\theta\dot{r}\sin\theta-r\sin\theta\dot{r}\cos\theta)d\theta dt\\
&\quad +(r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta)d\theta^2+\dot{z}^2 dt^2\\
&=(\dot{r}^2+\dot{z}^2)dt^2+r^2d\theta^2.
\end{split}
\]
于是
\[
g=(\dot{r}^2+\dot{z}^2)dt^2+r^2d\theta^2.
\]
若曲线以弧长作为参数, 则 $\dot{r}^2+\dot{z}^2=1$, 从而 $g$ 有更简单的形式 $g=dt^2+r^2d\theta^2$. 这使人想起 $\mathbb{R}^2$ 的极坐标表示. 但当 $r=0$ 时, 有的旋转曲面是尖点, 不光滑.

例. 18 在 $I\times S^1$ 上, 我们也有标架 $\partial_t$, $\partial_\theta$, 及其对偶的余标架 $dt$, $d\theta$. 形如
\[
g=\eta^2(t)dt^2+\varphi^2(t)d\theta^2
\]
的度量称为旋转度量(rotationally symmetric), 这是由于 $\eta,\varphi$ 与 $\theta$ 无关. 一般地, 通过改变 $I$ 上的坐标, 可以假设 $\eta=1$.

注意并非所有旋转对称度量均来自于旋转曲面. 因为当 $dt^2+r^2d\theta^2$ 是某旋转曲面的度量时, 则一定有 $\dot{z}^2+\dot{r}^2=1$, 从而 $|\dot{r}|\leqslant 1$, $\forall\, t$.

例. 19 $S^2(r)\subset\mathbb{R}^3$ 是一旋转曲面, 只需将曲线 $t\mapsto(r\sin(\frac{t}{r}),r\cos(\frac{t}{r}))$ 绕 $z$-轴旋转一周即可. 度量形如 $dt^2+r^2\sin^2(\frac{t}{r})d\theta^2$.

证明: 只需令
\[
\begin{cases}
\gamma(t)=r\sin\frac{t}{r},\\
z(t)=r\cos\frac{t}{r}.
\end{cases}
\]
将之代入 $g=(\dot{\gamma}^2+\dot{z}^2)dt^2+\gamma^2 d\theta^2$, 即得
\[
g=dt^2+r^2\sin^2(\frac{t}{r})d\theta^2.
\]


注: 注意到当 $r\rightarrow+\infty$ 时,
\[
r\sin\frac{t}{r}=\frac{\sin\frac{t}{r}}{\frac{t}{r}}\cdot t\rightarrow t.
\]
因此度量趋向于
\[
dt^2+t^2d\theta^2,
\]
此即欧氏空间度量的极坐标表示. 因此半径非常大的球面看上去像欧氏空间.

当将 $r$ 变为 $ir$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 我们将得到一个有趣的旋转度量:
\[
dt^2+r^2\sinh^2(\frac{t}{r})d\theta^2.
\]
注意这不是旋转曲面上的度量.

证明: 注意, $\sin iz=i\sinh z$, $\cos iz=\cosh z$. 将
\[
dt^2+r^2\sin^2(\frac{t}{r})d\theta^2
\]
中的 $r$ 变为 $ir$, 得到
\[
\begin{split}
&dt^2+(ir)^2\sin^2(\frac{t}{ir})d\theta^2\\
=&dt^2-r^2\sin^2(-i\frac{t}{r})d\theta^2\\
=&dt^2-r^2\sin^2(i\frac{t}{r})d\theta^2\\
=&dt^2-r^2(i\sinh\frac{t}{r})^2d\theta^2\\
=&dt^2+r^2\sinh^2\frac{t}{r}d\theta^2.
\end{split}
\]
Q.E.D

若记 $sn_k(t)$ 为方程
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\ddot{x}(t)+kx(t)&=&0,\\
x(0)&=&0,\\
\dot{x}(0)&=&1
\end{array}
\right.
\]
的惟一解, 则我们得到一簇旋转对称度量
\[
dt^2+\text{sn}_k^2(t)d\theta^2.
\]
记号 $\text{sn}_k$ 在此课程中将被广泛使用, 应将其与 Jacobi 椭圆函数 $\text{sn}(k,u)$ 予以区别开来.

• 当 $k=0$ 时, 该度量是 $\mathbb{R}^2$ 上的极坐标形式度量.
• 当 $k>0$ 时, 该度量是 $S^2(\frac{1}{\sqrt{k}})$ 上的标准度量.
• 当 $k<0$ 时, 该度量是双曲空间上的度量.