问题

介绍

1. $\Omega^*(M)$ 上的算子

设 $\Omega^*(M)$ 为 $M^{2m}$ 上微分形式构成的空间. 我们选取一个 $2m$-形式 $v_M=\frac{\omega^m}{m!}$ 作为辛流形 $(M^{2m},\omega)$ 的体积形式.

我们定义(辛)-星算子为:
\[
*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{2m-k}(M),\quad\forall\ 0\leqslant k\leqslant 2m,
\]
且满足
\[
\beta\wedge *\alpha=\wedge^k(G)(\beta,\alpha)v_M,\quad\forall\ \alpha,\beta\in\Omega^k(M),
\]
其中 $G$ 是与 $\omega$ 对偶的反对称二阶张量场(skew-symmetric bivector field). 容易验证 $**=\text{Id}$.

在典范局部坐标系下,

\[
\omega=dp_1\wedge dq_1+\cdots+dp_m\wedge dq_m,
\]

\[
G=\frac{\partial}{\partial q_1}\wedge\frac{\partial}{\partial p_1}+\cdots+\frac{\partial}{\partial q_m}\wedge\frac{\partial}{\partial p_m}.
\]

容易验证:
\[
\wedge^k(G)=k!\sum_{i_1 <\cdots < i_k}\frac{\partial}{\partial q_{i_1}}\wedge\frac{\partial}{\partial p_{i_1}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial q_{i_k}}\wedge\frac{\partial}{\partial p_{i_k}}
\]
 

我们定义 $d^*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)$ 为 $d^*:=(-1)^k *d*$.

易见 $d^*$ 是 [B] 中所介绍的典范复形的上边缘算子(coboundary operator).

因此我们有
\[
d^*=d\circ i(G)-i(G)\circ d=[d,i(G)].\tag{1}
\]

根据 $d^*$ 的定义, 我们有 $d^*\circ d^*=0$. 我们定义
\[
\begin{array}{rcl}
L:\ \Omega^k(M)&\rightarrow&\Omega^{k+2}(M)\\
\alpha&\mapsto& L(\alpha):=\omega\wedge\alpha.
\end{array}
\]
 

由于 $\omega$ 是闭的, 故 $[L,d]=0$.

Lemma 1.1. 若 $\alpha\in\Omega^k(M)$ ($0\leqslant k\leqslant 2m$), 则

\[
[L,i(G)]\alpha=\omega\wedge i(G)\alpha-i(G)(\omega\wedge\alpha)=(k-m)\alpha.
\]

证明. 由于 $L$ 和 $i(G)$ 都是局部算子并且都是 $C^\infty(M)$-线性的. 因此我们只要对于 $\dim M=2$ 证明即可, 而这是显然的.

Lemma 1.2. $[L,d^*]=-d$.
Pf. 设 $\alpha\in\Omega^k(M)$. 根据恒等式 (1) 和 Lemma 1.1, 我们有
\[
\begin{split}
[L,d^*]\alpha &=Ld^*\alpha-d^*(\omega\wedge\alpha)\\
&=L\bigl(d\circ i(G)\alpha-i(G)(d\alpha)\bigr)-\bigl(d\circ i(G)(\omega\wedge\alpha)-i(G)d(\omega\wedge\alpha)\bigr)\\
&=\omega\wedge(d\circ i(G)\alpha)-\omega\wedge\bigl(i(G)(d\alpha)\bigr)-d\circ i(G)(\omega\wedge\alpha)+i(G)d(\omega\wedge\alpha)\\
&=d\bigl(\omega\wedge i(G)\alpha\bigr)-\omega\wedge\bigl(i(G)(d\alpha)\bigr)-d\bigl(i(G)(\omega\wedge\alpha)\bigr)+i(G)(\omega\wedge d\alpha)\\
&=d\bigl(\omega\wedge i(G)\alpha-i(G)(\omega\wedge\alpha)\bigr)-\bigl(\omega\wedge i(G)(d\alpha)-i(G)(\omega\wedge d\alpha)\bigr)\\
&=d(k-m)\alpha-(k+1-m)d\alpha\\
&=-d\alpha.
\end{split}
\]
其中倒数第二个等号用了两次 Lemma 1.1.
 

对于任意的 $0\leqslant k\leqslant 2m$, 定义
\[
L^*:\ \Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-2}(M)
\]
为 $L^*:=-*L*$, 称 $L^*$ 为 $L$ 的辛伴随算子(symplectic adjoint operator).

Corollary 1.3. $[L^*,d^*]=0$, $[L^*,d]=d^*$.

Pf. 若将 $[L^*,d^*]$ 和 $[L^*,d]$ 限制在 $\Omega^{k-2}(M)$ 上, 则我们有
\[
[L^*,d^*]=(-1)^{k+1}*[L,d]*=0.
\]
 

\[ \begin{split} [L^*,d]&=L^*\circ d-d\circ L^*\\ &=(-1)*L*d-d(-1)*L*\\ &=*(-L*d*+*d*L)*\\ &=(-1)^{2m-k}*\bigl((-1)^k *d*L-(-1)^k L*d*\bigr)*\\ &=(-1)^{2m-k}*[d^*, L]*\\ &=(-1)^k *d*\\ &=d^* \end{split} \]